Rozumienie pojęć matematycznych

Poniższy wpis został opracowany na podstawie fragmentów mojej pracy magisterskiej Kontrola rozumienia pojęcia granicy ciągu z wykorzystaniem platformy e-learningowej Moodle, Akademia Pedagogiczna, Kraków 2008

Zarys problematyki rozumienia pojęć matematycznych w ujęciu Zygfryda Dyrszlaga

Bazą dla skutecznego nauczania matematyki jest bezsprzecznie wysoki poziom rozumienia przez ucznia specyficznych dla tej dziedziny pojęć, szczególnie w kontekście wspominanej przeze mnie we wpisie Pojęcie matematyczne w procesie dydaktycznym (Różnice pomiędzy pojęciami matematycznymi i pojęciami innych nauk) koncepcji konstruowania „pojęć na pojęciach”. Próbę odpowiedzi na pytanie czym pojęcie – i na jego tle pojęcie matematyczne – jest, a także ogólny zarys problematyki jego rozumienia zawarłem we wspomnianym artykule.

Warto w tym miejscu przyjrzeć się dokładniej problemowi rozumienia i kontroli rozumienia pojęcia matematycznego. Poniżej przedstawiam zarys koncepcji Zygfryda Dyrszlaga opisywanej przez niego szczegółowo w pozycji Kontrola rozumienia pojęć matematycznych w procesie dydaktycznym, Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Opole 1974.

Dwie koncepcje procesu rozumienia pojęcia matematycznego

W swojej publikacji przedstawia Z. Dyrszlag dwie koncepcje wyjaśniające proces rozumienia przez uczniów treści matematycznych. Pierwszą z nich opiera na rezultatach J. Piageta. „Postuluje ona istnienie tzw. schematów myślowych, struktur myślowych. Według tej koncepcji całą wiedza jednostki ludzkiej układa się w pewnego rodzaju zorganizowane struktury myślowe.” Autor upatruje w nich fundamentu dla dalszego uczenia się. Jako podstawę procesu rozumienia wiedzy z danej dziedziny uznaje zmianę, czyli „przestrukturowywanie dotychczas istniejących schematów myślowych.” Jednocześnie wskazuje dwa kierunki tej zmiany: dołączanie nowej wiedzy do istniejącego już schematu pozbawione jego modyfikacji zwane asymilacją, oraz zmiana istniejącego już schematu myślowego przy której następuje jego modyfikacja, czyli akomodacja – proces szczególnie ważny dla rozumienia wiedzy matematycznej. Z. Dyrszlag uważa, że zajście obu wymienionych procesów jest konieczne dla rozumienia pojęć matematycznych.

Drugą koncepcję opiera Z. Dyrszlag na „istnieniu tzw. zasad ogólnych, praw podstawowych”, które w każdej dziedzinie wiedzy można wyróżnić. Charakter zasady ogólnej jest według Z. Dyrszlaga abstrakcyjny. Znaczy to, że nie jest ona związana z żadną konkretną sytuacją. Autor powołując się na J.D. Williamsa pisze, że „wyróżnienie zasad ogólnych jest podstawą określenia rozumienia.” Rozumieniem według Williamsa jest zatem organizowanie informacji według zasad ogólnych. We współczesnej matematyce jako zasadę ogólną wskazuje Z. Dyrszlag ideę struktur matematycznych pisząc. „Doszukiwanie się w różnych dziedzinach takiego czy innego rodzaju struktury algebraicznej, porządkowej czy topologicznej” jest według autora dla współczesnej matematyki „zasadą jak najbardziej ogólną i podstawową.”

Ujęcie fenotypiczne i genotypiczne

Obie te koncepcje Z. Dyrszlag zalicza za J.D. Williamsem do tzw. ujęcia fenotypicznego rozumienia pojęć. Stwierdzenie w tym ujęciu, że ktoś dane pojęcie rozumie jest uwarunkowane wskazaniem konkretnych czynności czy zadań, które trzeba umieć wykonać. Istnieje tu oczywiście pewna dowolność w ustaleniu kryteriów rozumienia, proponuje więc zatem Z. Dyrszlag dobrze zorganizowane badania dydaktyczne jako klucz do rozwiązania tego problemu.

Wymienionemu wyżej spojrzeniu na problem rozumienia autor przeciwstawia ujęcie genotypiczne, polegające „na wskazaniu osoby, co do której przyjmujemy, że pojęcie rozumie.” Z sytuacją taką często można się spotkać w praktyce szkolnej. Sygnalizuje jednak Z. Dyrszlag pewne niebezpieczeństwo, które się wiąże z takim ujęciem problemu. Otóż by podejście takie mogło być zrealizowane w praktyce, konieczne jest według niego sprawdzenie, co osoba stawiana za „spersonifikowany wzór” rozumienia pojęcia umie i jak dane pojęcie rozumie. Słusznie zauważa, że w ten sposób całe zagadnienie sprowadza się do ujęcia fenotypicznego. Ostatecznie ocenia takie ujęcie jako mało przydatne w praktyce.

Typy rozumienia

Na koniec wprowadza Z. Dyrszlag podział rozumienia matematycznego na pewne typy czy jak sam to nazywa „odmiany”. Zauważa, że „pojęcia mogą być rozumiane głównie w aspekcie formalnym. W tym aspekcie główny nacisk położony jest na formalne definicje, symbolikę, znajomość reguł i twierdzeń. Autor twierdzi, że takie rozumienie często pozbawione jest nieformalnych intuicji. Przypisuje je matematykom (głównie zajmującym się algebrą lub logiką), zauważając, że samo „formalne manipulowanie symbolami dominuje [u nich] niekiedy nad intuicją związaną z modelami. Takie rozumienie według Z. Dyrszlaga nie wymaga odwoływania się do jakiegokolwiek przykładu.

Jako kolejne wymienia rozumienie „przy którym główny nacisk położony jest na samą treść pojęć i symboli.” Rozumienie takie właściwe raczej umysłom humanistycznym opiera się głównie na intuicji. Wykorzystuje modele niezwiązane często ze światem matematyki. Rozumienie w tym aspekcie opiera się głównie na bezpośrednim wglądzie w samą treść, przy częściowym zaniedbaniu aspektu formalnego pojęcia i symboliki.

Następnie opisuje Z. Dyrszlag stan, w którym ktoś na podstawie definicji ujmuje większą liczbę sytuacji, w których dane pojęcie ma zastosowanie, widzi je w pewnych strukturach dostrzegając wspólną strukturę wielu podobnych sytuacji. Takie rozumienie autor nazywa właśnie rozumieniem strukturowym.

Kolejne – kontekstowe rozumienie – jest według autora ściśle związane z dziedziną wiedzy, którą się dana osoba zajmuje. Posługując się przykładem m.in. wektora twierdzi on, że pojęcie to jest czym innym dla algebraika, geometry czy też fizyka. Nazwę, którą nadał tej odmianie autor tłumaczy tym, że w zależności od tego w jakiej dziedzinie wiedzy ktoś się porusza „nowo poznane pojęcie matematyczne często od razu „otoczone” zostaje całym kontekstem pojęć z danej dziedziny i w kontekst ten zostaje włączone.”

Jako bardzo ważny aspekt rozumienia pojęć matematycznych podaje Z. Dyrszlag tzw. rozumienie operatywne. W przeciwieństwie do opisanych powyżej typów, które możnaby uznać za statyczne ta odmiana cechuje się pewną dynamiką. Wyraża się ona według autora „stałą gotowością do aktywnego posługiwania się pojęciami w wyjaśnianiu napotkanych problemów i sytuacji.” „Nie rozumiemy matematyki w pełni na żadnym szczeblu, jeśli nie potrafimy pozwolić jej pracować (…)” – pisze Z. Dyrszlag. Zaznacza również, że znaczącą rolę w osiąganiu takiego rozumienia odgrywają symbole pojęć, które „pomagają nam niejednokrotnie w posługiwaniu się samymi pojęciami.”

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s