Pojęcie matematyczne w procesie dydaktycznym

Poniższy wpis został opracowany na podstawie fragmentów mojej pracy magisterskiej Kontrola rozumienia pojęcia granicy ciągu z wykorzystaniem platformy e-learningowej Moodle, Akademia Pedagogiczna, Kraków 2008

Pojęcie matematyczne na tle pojęć innych nauk i zarys problematyki rozumienia pojęć matematycznych

Pojęcie

Proces myślenia wiąże się nieodłącznie z tworzeniem i wykorzystywaniem pojęć. Słownikowa definicja pojęcia stanowi, że to „jeden z podstawowych składników procesu myślenia” i „myślowe odzwierciedlenie i całościowe ujęcie istotnych cech przedmiotów czy zjawisk.”[1] Pojęcie możemy rozpatrywać różnorako.

Z punktu widzenia logiki jest to „znaczenie (konotacja) nazwy, myślowy odpowiednik zespołu cech charakterystycznych dla przedmiotów, do których ta nazwa się odnosi (jej desygnatów).”[2]

Filozofia natomiast uznaje pojęcie za „niezbędny składnik myślenia abstrakcyjnego, stanowiący formę odzwierciedlenia w świadomości ludzkiej cech i stosunków charakteryzujących przedmioty i zjawiska.” Doszukuje się kształtowania pojęć w „rozwoju kultury, języka i komunikowania się ludzi.” Pojęcia „odgrywają istotną rolę w procesie poznania, pozwalają łączyć wiedzę o tym co ogólne, z poznaniem tego, co specyficzne.”[2]

W Wikipedii (http://pl.wikipedia.org/wiki/Poj%C4%99cie) znajdujemy też podział pojęć w ramach aspektu psychologicznego na naturalne, czyli oparte na podobieństwie do przechowywanych w pamięci „typowych” reprezentantach danej klasy obiektów oraz klasyczne, czyli pojęcia „o ostrych granicach, oparte na ścisłej definicji zawierającej warunki konieczne i wystarczające, by dany obiekt mógł być uznany za reprezentanta danej kategorii.” O ile pierwszy typ „zapewnia ekonomiczne funkcjonowanie poznawcze, pozwala rozumieć i wyjaśniać rzeczywistość, a także umożliwia komunikację”, o tyle drugi bliższy jest pojęciu matematycznemu, którym się teraz dokładniej zajmę.

Różnice pomiędzy pojęciami matematycznymi i pojęciami innych nauk

Każda nauka posiada charakterystyczny dla siebie wachlarz pojęć, wykorzystywany przez nią do systematyzowania i opisywania pewnych zjawisk i relacji, którymi się zajmuje. Rolę zdecydowanie większą od opisanej można przypisać pojęciom występującym w matematyce. M. Klakla[3] dostrzega w nich to, co wyróżnia matematykę na tle pozostałych nauk. Głównej różnicy każe upatrywać w tym, że o ile w innych naukach pojęcia „służą przede wszystkim do porządkowania i opisu faktów,” o tyle w matematyce są one podstawą dedukcji, czyli umożliwiają wszelkie rozumowania matematyczne. Kolejną cechą charakterystyczną jedynie dla matematyki jest według Klakli zjawisko konstruowania „pojęć na pojęciach.” Polega ono na tym, że „pewne abstrakcyjne pojęcia stają się wyjściowym tworzywem do konstrukcji nowych, abstrakcyjnych pojęć.

D. Gierulanka[4] pisze w swojej książce wprost: „Pojęcia matematyczne (…) są bardziej precyzyjne i jednoznaczne od innych pojęć, posiadających przeważnie pewną sferę stosowalności o nieostrych granicach. Przy operowaniu więc pojęciami matematycznymi unika się wieloznaczności, która z jednej strony może się odbić na psychicznym przebiegu rozwiązywania zadania, komplikując go, z drugiej zaś strony zwiększa możliwość różnych interpretacji wyników przez eksperymentatora.”

Wprowadzanie pojęć matematycznych w procesie nauczania

„Wprowadzenie nowego pojęcia w danej teorii matematycznej polega na podaniu jego poprawnej definicji” – pisze M. Klakla w swoim artykule[3]. Wspomina również o niedefiniowanych pojęciach pierwotnych wyodrębnionych w ramach zaksjomatyzowanych teorii. Można zatem uznać wprowadzenie pojęcia jako jednorazowy akt.

Zupełnie inną formę przyjmuje wprowadzanie pojęć w nauczaniu matematyki. W dydaktyce matematyki jest to pewien proces, który może być rozłożony w czasie, a definicja może pojawić się na różnych etapach tego procesu. Klakla twierdzi nawet, że „etap poznawania pojęcia drogą definicji musi być poprzedzony okresem kształtowania elementarnych pojęć na drodze nieformalnej.” Proces nauczania matematyki ma na celu doprowadzenie do właściwego rozumienia danego pojęcia i umiejętności posługiwania się nim do rozwiązywania problemów. Z. Krygowska[5] stwierdza, że „rozumienie przez uczniów pojęć matematycznych i umiejętność posługiwania się nimi w toku rozwiązywania problemów to jeden z najważniejszych celów nauczania matematyki.” Wprowadza przy tym rozróżnienie sposobu wprowadzania nowego pojęcia na dwa typy: „1) wprowadzenie nowego pojęcia przez definicję podaną przez nauczyciela lub podręcznik, zilustrowaną odpowiednimi przykładami, 2) wprowadzenie nowego pojęcia przez taką organizację aktywności ucznia, że on sam to pojęcie przy dyskretnej pomocy nauczyciela konstruuje i następnie definiuje.” Podkreśla jednocześnie Z. Krygowska, że dla rozwoju myślenia matematycznego ucznia obie te drogi są równie ważne i uznaje za błąd dydaktyczny pominięcie w nauczaniu którejkolwiek z nich.

Rozumienie pojęcia matematycznego

Jak już wspomniałem rozumienie pojęć jest zarówno dla M. Klakli, jak i dla Z. Krygowskiej celem nadrzędnym w nauczaniu matematyki. Jednak samo zdefiniowanie czym jest rozumienie nastręcza dużych trudności. Termin ten pojawia się w wielu pracach i artykułach, funkcjonuje w języku potocznym. Nie ma on jednak wyraźnie określonego znaczenia.

„Rozumienie jest stosunkiem uczącego się do wiedzy, występującym częściowo niezależnie od opanowania tej wiedzy.” – pisze S. Turnau w Wykładach o nauczaniu matematyki[6]. Zwraca również uwagę na fakt, że rozumienie może być oceniane subiektywnie i niejednoznacznie, tzn. uczeń może być przekonany, że dane pojęcie rozumie, podczas gdy nauczyciel twierdzi inaczej, S. Turnau wyróżnia trzy typy rozumienia pojęcia[6].
Pierwszym z nich jest rozumienie instrumentalne, które polega na opanowaniu pewnych operacji formalnych wystarczających do rozwiązywania zadań typowych. Jest ono łatwe do opanowania przez ucznia i zdecydowanie łatwiejsze do kontrolowania przez nauczyciela od pozostałych typów rozumienia.

O ile do rozwiązania typowego zadania wystarcza rozumienie instrumentalne, o tyle w zadaniu nietypowym trzeba odwołać się do rozumienia intuicyjnego. W tym przypadku zanim uczeń zastosuje jakiś wzór czy algorytm musi na drodze rozumowania intuicyjnego (a nie formalnego) wywnioskować, jaka reguła da pożądany rezultat. S. Turnau postuluje zachowanie równowagi pomiędzy tymi typami w celu zapewnienia użyteczności wiedzy matematycznej uczniów również poza lekcją matematyki.
Wyróżnia on jeszcze jeden typ rozumienia pojęć matematycznych – rozumienie logiczne. Jest to typ przeciwstawny rozumieniu intuicyjnemu. Odnosi się on do formalnej strony matematyki, a więc do definicji, twierdzeń, dowodów. „Rozumienie logiczne definicji, twierdzeń i dowodów jest konieczne do przyswojenia dedukcyjnej budowy matematyki, do pojmowania roli definicji i dowodu, do samodzielnego formułowania definicji i twierdzeń oraz dowodzenia. Rozumienie logiczne nie jest więc ani lepsze, ani gorsze od intuicyjnego czy instrumentalnego; jest innym rodzajem rozumienia, dostosowanym do innych potrzeb.” – konkluduje S. Turnau.[6]

Tematyką rozumienia pojęcia zajmuje się też M. Klakla.[3] Zwraca on uwagę, że „z rozumieniem pojęcia wiąże się przede wszystkim umiejętność odróżniania desygnatów tego pojęcia od innych obiektów, nie podpadających pod to pojęcie (…)” Wymaga to dysponowania kryterium pozwalającym na takie rozróżnienie, którego M. Klakla upatruje w definicji (na odpowiednio wysokim poziomie nauczania), sygnalizując jednak możliwość operowania przez uczniów (na stosunkowo niskim poziomie) abstrakcyjnymi pojęciami pomimo braku sformułowania definicji.

Jako kolejny aspekt rozumienia pojęć matematycznych Klakla wskazuje „umiejętność widzenia ich w pewnej strukturze.” Stwierdza on, że w celu takiego ukształtowania rozumienia pojęć wymagane jest, by w procesie ich wprowadzania uświadamiać uczniowi rozmaite zależności między nimi.

Szeroko problem ten traktuje Z. Dyrszlag w Kontroli rozumienia pojęć matematycznych w procesie dydaktycznym[7]. Jego koncepcję poziomów i kontroli rozumienia pojęcia matematycznego opisuję w artykule Rozumienie pojęć matematycznych.

Przypisy
1. Mały słownik języka polskiego, red. E. Sobol, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1997.
2. Encyklopedia powszechna PWN, red. R. Łąkowski, PWN, Warszawa 1985
3. Materiały do studiowania dydaktyki matematyki, t. III, red. dr J. Żabowski, Prace dr Macieja Klakli, Wydawnictwo Naukowe Novum, Płock 2002, (przedruk z: Podstawowe zagadnienia dydaktyki matematyki, red. I. Gucewicz – Sawicka, PWN, Warszawa 1982)
4. Gierulanka D., O przyswajaniu sobie pojęć geometrycznych, PWN, Warszawa 1958
5. Krygowska Z., Zarys dydaktyki matematyki, cz. III, WSiP, Warszawa 1980
6. Turnau S., Wykłady o nauczaniu matematyki, PWN, Warszawa 1990
7. Dyrszlag Z., Kontrola rozumienia pojęć matematycznych w procesie dydaktycznym, Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Opole 1974

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s